Циферное гадание

Циферное гадание

Это гадание очень популярно у девушек.

1. Загадываете парня, пишете числа от 1 до 100 без нолей, причем первая строка будет со­стоять из любого количества цифр (как сама захочешь), а следующие — как первая. В конце цифровой матрицы пишете дату дня, в который производите гадание (число, месяц, год).

2. Вычеркиваете по 2 цифры, которые:

а) либо в сумме составляют 10 (1 и 9, 2 и 8. );
б) либо одинаковы (1 и 1, 2 и 2, 3 и 3. ).

Причем есть два варианта вычеркивания:

1) Вычеркивать можно только рядом стоящие по вертикали либо горизонтали, но нельзя через уже зачеркнутые цифры.
2) Вычеркиваем те же цифры, плюс — можно вычеркивать через уже зачеркнутые.

3. Выписываете оставшиеся цифры в том же порядке, в котором они остались, причем количество цифр в строке должно быть равно количеству букв в имени загаданного парня.

Вычеркиваете цифры в полученной матрице как во 2-м пункте, переписываете как в 3-м и делаете так до тех пор, пока получается какую-нибудь пару чисел вычеркнуть.

По количеству оставшихся цифр судят об отношении парня к Вам:

По первому варианту:

1—10—19 любит,
2—11—20 ревнует,
3—12—21 не обращает внимания,
4—13—22 нравишься ему,
5—14—23 обратит внимание,
6—15—24 ничего нет.
7—16—25 будете общаться,
8—17—26 хочет быть с тобой,
9—18—27 будете вместе.

1 — одиночество,
2 — будете вместе,
3 — у него есть другая,
4 — он Вас любит,
5 — любит Вас,
6 — любит другую,
7 — ревнует Вас,
8 — дорога к Вам,
9 — разлука,
10 — письмо от него,
11 — встреча с ним,
12 — разговор,
13 — свадьба,
14 — любит Вас,
15 — скучает,
16 — Вы ему не нужны.

На что делится 7. Признаки делимости на составное число

  • На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
  • Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
  • Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

    Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

    Пример 1:
    Делится ли на 7 число 238?
    23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
    Действительно, 238 = 34х7

    Усовершенствованный признак делимости на 13
    Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

  • Для 26: на 2 и на 13;
  • Усовершенствованный признак делимости на 16.
    Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
    увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

    Пример 9
    Делится ли число 1984 на 16?
    4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
    6+10*2+4*1=6+20+4=30
    30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

    Признак делимости на 2
    Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

    Признак делимости на 5
    Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

    Признак делимости на 6
    Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

    Признак делимости на 8
    Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

    Признак делимости на 10
    Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

    Признак делимости на 14
    Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

    Признак делимости на 17
    Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053>2905+36=2941>294+12=306>30+72=102>10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952>3295-10=3285>328-25=303>30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

    Признак делимости на 19
    Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

    Признак делимости на 23
    Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

    Признак делимости на 101
    Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

    О своем изобретении нового признака делимости на 7, удобного для использования в школе, рассказывает ТРИЗ-педагог Сергей Владимирович Ефремов.

    Работая в школе с подготовишками, зашёл в кабинет шестого класса и увидел на стене плакат «Признаки делимости чисел». Там были признаки делимости для чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, а для числа 7 такого признака не было. Я спросил у учителя математики:

    Мне ответили, что он есть, но очень сложный. Навел справки в Интернете. Нашёл три признака.

    Признак 1 : число делится на тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15*3+4=49.

    Признак 2 . число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится |138-689+257|=294.

    Проверим делимость числа 86 576 (восемьдесят шесть тысяч пятьсот семьдесят шесть). В этом числе 8 657 (восемь тысяч шестьсот пятьдесят семь) десятков и 6 (шесть) единиц. Приступаем к проверке делимости этого числа на 7 (семь):

    8657 — 6 х 2 = 8657 — 12 = 8645

    864 — 5 х 2 = 864 — 10 = 854

    85 — 4 х 2 = 85 — 8 = 77

    В принципе, уже невооруженным глазом видно, что число 77 (семьдесят семь) делится на 7 (семь) и в результате получается 11 (одиннадцать). Подобный результат мы уже рассматривали выше.

    Как видите, признаки действительно сложные. Пользоваться ими в уме трудно из-за большого количества операций. Наиболее простой – третий признак, но тоже два действия, сначала умножение, а потом вычитание, а для чисел за 700 уже надо делать несколько циклов.

    «Найти признак деления на 7 с меньшим количеством математических действий».

    Применил инструмент ТРИЗ – ИКР (идеальный конечный результат).

    Само число должно давать ресурс для вычисления.

    И этот ресурс нашёлся. Если посмотреть таблицу умножения на 7, то его произведения имеют отличительное свойство – конечная цифра не повторяется: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. На первый взгляд, это усложняет задачу, т.к. проверяемое число с любым окончанием может делиться на 7. Но ведь по правилу ТРИЗ: «Кто мешает, тот и помогает». Надо использовать это свойство на пользу.

    Вот он нужный ресурс – это таблица умножения на 7 – 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

    Предполагаем, что он у нас есть в памяти. Теперь используем действие из третьего (самого простого) признака – вычитание. Получаем новый признак делимости на 7.

    А теперь простыми словами.

    — Смотрим на проверяемое число, например, уже известное 259.

    — Ответ 21. Значит число делится на 7. Это так: 259: 7 = 37. Последняя цифра 7, как мы и предполагали.

    Ещё несколько примеров. 756 делится на 7?

    Оно оканчивается на 6. Ресурс – 56. Вычитаем 75 – 5 = 70. Число делится 756: 7 = 108

    Число 392. Оканчивается на 2. Ресурс – 42. Вычитаем 39 -4 = 35. Делится 392: 7 = 56.

    Число 571. Оканчивается на 1. Ресурс – 21. Вычитаем 57 – 2 = 55. Не делится.

    В этом признаке мы исключили одно математическое действие – умножение.

    Рассмотрим, например, число 973. Оно оканчивается на 3. Ресурс – 63. Вычитаем 97 — 6 = 91. Можно идти на второй цикл, а можно вычитать не 6, а 76. 97 — 76 = 21. Делится.

    Читайте так же:  Расклады на личную жизнь таро

    Добавки идут по системе счисления семи: 70, 140, 210 и т.д. в зависимости от проверяемого числа.

    2. Коллеги, используйте ТРИЗ для решения своих задач! Это экономит время. Мне, чтобы найти этот признак делимости, потребовалось 3 часа с учётом поиска аналогов в интернете.

    В таблице простых чисел, то есть таких, которые делятся только на 1 и на себя, числа 7, 11 и 13 расположены рядом (см. таблицу простых чисел на стр. 363). Их произведение равно:

    7 • 11 • 13=1001 = 1000 + 1.

    Заметим пока, что 1000 + 1 делится и на 7, и на 11, и на 13. Далее, если любое трехзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза.

    Пусть
    — какое-либо трехзначное число (а, Ь и с — цифры этого числа). Умножим его на 1001:

    Следовательно, все числа вида аЬсаЬс делятся на 7, на 11 и на 13. В частности, делится на 7, 11 и 13 число 999 999, или, иначе, 1000 000-1.

    Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7 или на 11,

    или на 13 к делимости на них некоторого другого числа — не более чем трехзначного.

    Требуется, положим, определить, делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13. Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трех цифр. Представим теперь данное число в гаком виде:

    42 623 295 = 295 + 628 • 1000 + 42 • 1 000 000,

    или (аналогично тому, как это мы делали при рассмотрении признака делимости на 11):

    42 623 295 = 295 + 623 (1000 + 1 -1) + 42(1000000 — 1 + 1) = (295 — 623 + 42) + .

    Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, делимость испытуемого числа на

    7, 11 и 13 полностью определяется делимостью числа, заключенного в первой круглой скобке.

    Рассматривая каждую грань испытуемого числа как самостоятельное число, можно высказать следующий объединенный признак делимости сразу на три числа, 7, 11 и 13:

    Вели разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7 или на 11, или на 13.

    Вернемся к числу 42 623 295. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа:

    (295 + 42)-623 = -286.

    Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.

    Очевидно, что делимость на 7, 11 и 13 четырех-, пяти — и шестизначных чисел, то есть чисел, разбивающихся всего лишь на 2 грани (практически более частый случай), определяется делимостью на 7, 11 и 13 разности граней данного числа. Так, например, легко установить, что 29 575 делится на 7 и на 13, но не делится на 11. Действительно, разность граней равна

    а число 546 делится на 7 и на 13 и не делится на 11.

    Задача. Устанавливая объединенный признак делимости на 7, 11 и 13, мы оперировали числом, разбивавшимся на 3 грани. Проведите обоснование этого признака на примере числа, разбивающегося на 4 грани по 3 цифры справа налево.

    Комметирование закрыто now!

  • На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
  • Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
  • Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

    Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие «неудобные» числа.

    На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

    Усовершенствованный признак делимости на 8
    Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

  • Для14: на 2 и на 7;
  • Для 28: на 4 и на 7.
  • Усовершенствованный признак делимости на 17.
    Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

    Пример 11
    Делится ли число 59772 на 17?
    5977-5*2 = 5967
    596-5*7 = 561
    56-5*1 = 51
    5-5*5 = 0
    0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

    Пример 12
    Делится ли число 4913 на 17?
    491-5*3 = 476
    47-5*6 = 17
    17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

    Усовершенствованный признак делимости на 19.
    Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

    Усовершенствованный признак делимости на 23.
    Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

    7 деленная. Основные признаки делимости

    Добрый день!
    Сегодня мы продолжим рассматривать признаки делимости.
    И начнём мы вот с чего:
    Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.

    Пример: 298109.
    1-й шаг. Берём 9, умножаем её на 2 и производим вычитание:
    29810-18=29792.
    2-й шаг. 29792. Берём 2, умножаем её на 2 и производим вычитание:
    2979-4 = 2975.
    3-й шаг. 2975. Берём 5, умножаем на 2 и производим вычитание: 297-10=287.
    4-й шаг. 287. Берём 7, умножаем на 2 и производим вычитание 28-14=14. Делится на 7.
    Значит всё число 298109 делится на 7.

    Ещё пример. Число 1102283.
    1-й шаг. 110228-3*2 = 110222
    2-й шаг. 11022-2*2 = 11018.
    3-й шаг. 1101-8*2 = 1085.
    4-й шаг. 108-5*2 = 98.
    5-й шаг. 9-8*2 = -7. Делится на 7. Значит, 1102283 делится на 7.

    Признак делимости на 13. Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.
    Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.
    Пример: Число 595166.
    1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540
    2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954
    3-й шаг. 595 + 4*4 = 611
    4-й шаг. 61 + 1*4 = 65
    5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.
    Значит, число 595166 делится нацело на 13.

    Ещё пример. Число 10221224.
    1-й шаг. 1022122 + 4*4 = 1022138
    2-й шаг. 102213 + 8*4 = 102245
    3-й шаг. 10224 + 5*4 = 10244
    4-й шаг. 1024 + 4*4 = 1040
    5-й шаг. 104 + 0*4 = 104
    6-й шаг. 10 + 4*4 = 26. Делится на 13.
    Значит, число 10221224 делится нацело на 13.
    Теперь я бы хотел показать несколько других признаков делимости и не только на простые числа, но и на составные.

    Признак делимости на 11. Возьмём число и сложим все цифры, которые стоят на нечётных местах. Затем сложим все цифры числа, которые стоят на чётных местах.
    Если разность между первой суммой и второй кратна 11, то всё число делится на 11.
    При этом разность может быть как положительна, так и отрицательна.
    Примеры: 160369 (Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах
    1+0+6 = 7. Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.
    18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).
    Ещё пример: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
    Число 7527927 делится на 11).

    Признак делимости на 15. Число 15 — составное. Его можно представить в виде произведения простых множителей, а именно 5 и 3.
    А мы уже знаем Значит, число делится на 15, если
    1. — оно заканчивается на 0 или 5;

    Пример: 36840 (Число оканчивается на 0; сумма цифр его равна 3+6+8+4 = 21. Делится на 3.) Значит, все число делится на 15.
    Ещё пример: 113445 Число оканчивается на 5; сумма цифр его равна 1+1+3+4+4+5 = 18. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 15.

    Признак делимости на 12. Число 12 — составное. Его можно представить в виде произведения следующих множителей: 4 и 3.
    Значит, число делится на 12, если
    1. — 2 последние цифры его делятся на 4;
    2. — сумма цифр его делится на 3.
    Примеры: 78864 (Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
    Ещё пример: 943908 (Две последние цифры — 08. Число, составленное из этих цифр, делится на 4; сумма цифр равна 9+4+3+9+0+8 = 33.
    Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.

    Читайте так же:  Запрещено ли к гадание

    — Почему нет признака делимости на семь?

    Другой пример — число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся 100*3+1=301, 30*3+1=91, 9*3+1=28, 2*3+8=14.

    Признак 3 . Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

    Снова проверяем делимость на 7 (семь), теперь уже полученного нами числа 8 645 (восемь тысяч шестьсот сорок пять). Теперь у нас 864 (восемь шестьдесят четыре) десятка и 5 (пять) единиц:

    Опять повторяем наши действия для числа 854 (восемьсот пятьдесят четыре), в котором 85 (восемьдесят пять) десятков и 4 (четыре) единицы:

    Смотря на последнюю цифру в проверяемом числе, мы уже знаем один признак ответа – это число из таблицы умножения, дающее этот кончик. Например, если проверяемое число 154, то если оно делится на 7, последняя цифра в ответе должна быть 2 (7х2=14), а если число 259, то последняя цифра ответа должна быть 7 (7х7=49).

    Число делится на 7, когда результат вычитания первой цифры известного произведения из этого числа без последней цифры делится на 7.

    — Оно оканчивается на 9. Берём ресурс из таблицы умножения 49 . Её первая цифра – 4.

    — Вычитаем из 25 эту цифру. 25 – 4 = 21

    Число 574. Оканчивается на 4. Ресурс – 14. Вычитаем 57 – 1 = 56. Делится 574: 7 = 82

    Для проверяемых чисел больше 700, чтобы избежать повторных циклов, как в признаке 3, используйте для вычитаемого кратные десятки и сотни семёрки.

    1. Этот признак можно применять в уме без особых трудностей, для чисел до 1000. Он поможет искать кратные для деления.

    Буду рад, если этот признак кому-то пригодится.

    Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

    На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

    Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

    Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

    Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

    Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

    Характерная особенность делимости на 6.

    Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и «числа, оставшегося без последней цифры»делится на семь, то и само число делится на семь.

    Число 296492. Возьмем последнюю цифру «2», удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 — 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру «5», выходит 10. Вычитаем 2964 — 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой «4», удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 — 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь — не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру «7», удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 — 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

    На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

    На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах — число невозможно поделить целиком на 25.

    9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

    Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

  • На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
  • Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
  • Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.
  • Это действие можно проводить многократно.
    Пример 2:
    Делится ли на 7 число 65835?
    6583-5-5 = 6573
    657-3-3 = 651
    65-1-1 = 63
    63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

    Пример 3
    Делится ли число 52 на 4?
    5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

    Пример 4
    Делится ли число 134 на 4?
    3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

    Пример 5
    Делится ли число 512 на 8?
    5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

    Признак делимости на 12 — это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

    Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

    Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

  • Для 15: на 3 и на 5;
  • Для 21: на 3 и на 7;
  • Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя — чётной);
  • Для 24: на 3 и на 8;
  • Пример 14
    Делится ли число 208012 на 23?
    20801+7*2 = 20815
    2081+7*5 = 2116
    211+7*6 = 253
    Вообще-то, уже можно заметить, что 253 — это 23,

    Как определить делится ли число на 4. Основные признаки делимости

    Признак делимости на 3
    Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

    Признак делимости на 4
    Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

    Признак делимости на 7
    Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

    Признак делимости на 9
    Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

    Признак делимости на 11
    Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

    Признак делимости на 12
    Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

    Признак делимости на 13
    Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

    Признак делимости на 15
    Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

    Признак делимости на 25
    Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

    Признак делимости на 99
    Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

    • На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
    • На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
    • Признак делимости на 7 часто пропускается;
    • Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

      Усовершенствованный признак делимости на 7
      Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

      Значит, и число 65835 делится на 7.

      Усовершенствованный признак делимости на 4
      Если половина числа единиц в сумме с числом десятков — чётнное число, то число делится на 4.

      Пример 6
      Делится ли число 1984 на 8?
      9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

      Пример 7
      Делится ли на 8 число 65835?
      6583+4*5 = 6603
      660+4*3 = 672
      67+4*2 = 79
      7+4*9 = 43

      Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

      Пример 8
      Делится ли на 13 число 715?
      71+4*5 = 91
      9+4*1 = 13
      13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

    • Для 18: на 2 и на 9;
    • Пример 10
      Делится ли число 1526 на 16?
      6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
      48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

      Пример 13
      Делится ли число 9044 на 19?
      904+4+4 = 912
      91+2+2 = 95
      9+5+5 = 19
      19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

      m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

      Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

      Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять — число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

      Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 — цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

      Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

      Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

      Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

      Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

      Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

      126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

      Характерная особенность делимости на 7.

      Характерная особенность делимости на 11 .

      Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 — 7 = 4 не делится на 11.

      Характерная особенность делимости на 25 .

      Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

      Основные признаки делимости

      Приведем основные признаки делимости чисел :

    • Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
      Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
    • Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
      Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
    • Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
      Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
    • Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
      Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
    • Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
      Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
    • Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
      Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
    • Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
      Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
    • Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
      Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
    • Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
      Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
    • Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
      Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.
    • Признаки делимости на составное число

      Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

      Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

      Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.