Что если сумма коэффициентов в квадратном уравнении равна нулю

Квадратное уравнение

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ? 0), x — неизвестное.

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • называется первым коэффициентом;
  • называется вторым коэффициентом;
  • — свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ( ).

Если в квадратном уравнении коэффициенты и не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, .

Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение является корнем квадратного уравнения , потому что или — это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

Решение неполных квадратных уравнений

ax 2 + bx = 0, a?0, b?0

Пусть неполное квадратное уравнение имеет вид , где a ? 0; b? 0. В левой части этого уравнения есть общий множитель .

1. Вынесем общий множитель за скобки.

Мы получим . Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем или . Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

2. Решаем получившуюся систему уравнений.

Решив эту систему, мы получим и . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня и .

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

ax 2 + c = 0, a?0, с?0

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим .

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня и

ax 2 = 0, a?0

Разделим обе части уравнения на , мы получим , . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень .

Решение полного квадратного уравнения

Найдем решение полного квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения называется выражение b 2 — 4ac.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:

2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

3. D 2 + px + q = 0 равна -p , а произведение корней равно q .

Обратная теорема — если сумма двух чисел x1 и x2 равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен — многочлен вида ax 2 + bx + c = 0, где x — переменная, a,b,c — некоторые числа.

Значения переменной , которые обращают квадратный трехчлен в нуль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена — это корни квадратного уравнения .

Теорема. Если квадратное уравнение имеет корни , то его можно записать в виде: x 2 + bx + c = a (x — x1)(x — x2).

Разложим на множители квадратный трехчлен:

Сначала решим квадратное уравнение:

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

Определение квадратного уравнения и общее понятие о его корнях

Уравнения вида ax? + bx = 0 ,

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Читайте так же:  Что делать если жена выгнала из своего дома

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b? — 4ac , которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Три случая после нахождения дискриминанта квадратного уравнения

1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

Решение полных квадратных уравнений

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

,

Пример 5. Найти корни квадратного уравнения:

.

.

Пусть дано квадратное уравнение . Так как , то разделив обе части данного уравнения на a, получим уравнение . Полагая, что и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведённым.

.

Теорема Виета

По формулам Виета , . Требуемое в условии задачи уравнение имеет вид

Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим

Пример 8. Решить квадратное уравнение .

.

Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:

.

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

.

.

.

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

.

.

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x? + 10x = 39 ).

Различные прикладные задачи на квадратные уравнения

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.

Решение (корни) квадратного уравнения

В квадратном уравнении ax? + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

называются неполными квадратными уравнениями.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;

График квадратичного трёхлена ax? + bx + c — левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y . Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x , то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Читайте так же:  Что делать если банк подал в суд за просрочку по кредиту

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x .

Они вычисляются по формулам:

.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax? + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a , а произведение равно с/a :

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение

имело корни и .

Пример 7. Решить квадратное уравнение .

Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, перенесём в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Получим уравнение

Так как , то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не имеет действительных корней и эквивалентное ему неполное квадратное уравнение .

.

Пример 9. Упростить выражение:

Корни квадратного уравнения будут следующими:

.

Разложим квадратный многочлен на множители:

.

Упростили выражение, проще не бывает:

.

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Из истории решения квадратных уравнений

Площадь большого квадрата равна (x + 5)? . Она складывается из площади x? + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2 , равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Ответ: в отрезке 20 м ткани.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Читайте так же:  Что делать если нет месячных 2 месяца а тест отрицательный

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax? + bx + c = 0 , где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ? 0 .

Например, квадратным является уравнение

— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).

Геометрический смысл решения квадратного уравнения

и

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня, которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

.

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В примере 2 нашли дискриминант этого уравнения:

Применим формулу корней квадратного уравнения . Отсюда , . Найденные корни квадратного уравнения равны друг другу, а это значит, что уравнение имеет единственный корень:

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Корни приведённого квадратного уравнения

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x? + px + q = 0 имеет действительные корни и , то

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.

Пример 6. Написать приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.

Решение неполных квадратных уравнений

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: или . Решая уравнение , находим .

Следовательно, произведение обращается в нулю при и при . Поэтому числа 0 и 1/2 являются корнями неполного квадратного уравнения .

Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 10. Упростить выражение:

Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:

Найдём корни квадратного уравнения: